The Direct Method in Soliton Theory: Hirota 方法的简要笔记翻译补全*

普通波方程，将它展开，简化一下

\begin{gather*} \left(\frac{\partial^2}{\partial t^2}-v_0^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}\right)f(x,t)=0 \tag{1.1} \\ \left(\frac{\partial}{\partial t}-v_0\frac{\partial}{\partial x}\right)\left(\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x}\right)f(x,t)=0\\ \left(\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x}\right)f(x,t)=0 \tag{1.2} \end{gather*}

满足 1.2 的解一定满足 1.1, 1.1 有向左向右的行波解而 1.2 只有向右的行波解： \(f(x,t)=f(x-v_0t)\)

在具有周期性 ¹ 的解中具有代表性的为平面波（解）： \(f(x,t)=\exp[\mathrm{i}(\omega t-kx)]\)

关于 ω 和 \(k\) 有 \(\omega=v_0k\) 此为 色散关系 ,在这里它是正比线性的。

线性色散关系的波为 非色散波 ,它的特征是初始脉冲若由多个 k 不同的平面波线性叠加，那么因为所有叠加的波传输速度一样，所以它的形状不会变（所有频率的移动速度相对一致）

最简单例子：

\begin{equation} \tag{1.3} \left(\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x}+\delta\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)f(x,t)=0 \end{equation}

代入平面波 \(f(x,t)\propto\exp[\mathrm i(\omega t-kx)]\)

得到 \(\omega=v_0k-\delta k^3\) 此时 ω 和 k 不是线性，故此时为 色散波 ，因为没有非线性项，记为 线性色散波 。 计算相速度和群速度：

\begin{gather*} v_p=\frac{\omega}{k}=v_0-\delta k^2\\ v_g=\frac{\partial\omega}{\partial k}=v_0-3\delta k^2 \end{gather*}

若 \(\delta>0\) 两者将小于 \(v_0\) ，并和 k 相关，使得波会展宽不能保持初始形状。 所以， 线性色散波不能保持初始形状

在 1.2 上作最简单的变化：

\begin{equation} \label{1.4} \left(\frac{\partial}{\partial t}+v(f)\frac{\partial}{\partial x}\right)f(x,t)=0 \qquad v(f)=v_0+\alpha f^m \end{equation}

线性项乘上了 f 产生非线性项，其中波速 v 依赖于振幅 f。

1.4 它有形式解 \(f(x,t)=f(x-v(f)t)\) 。 由于振幅强度大时传播快，所以会发生形状变化，前峰变陡。

在这种情况下，波快要被破坏前， \(|\frac{\partial f}{\partial x}|\gg 1\) (类比直线斜率无穷大)，此时 1.4 失效了（？），应当考虑 1.5

\begin{equation} \tag{1.5} \left(\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x}+\alpha f^m\frac{\partial}{\partial x}+\delta\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)f(x,t)=0 \end{equation}

1.5 这个方程具有脉冲状的波解－孤立波解－传输中不改变形状。

前文已展现色散和非线性单独存在是无法形成孤立波。这里先简述同时存在而波形状稳定缘故之后用仔细数学处理。

若移动的波形状不变，那么至少波的顶峰 (top) 和底基 (base 自翻) 应当具有相同速度。方便起见引入新空间坐标

\begin{equation*} \eta=px-\Omega t \qquad v=\frac{\Omega}{p} \end{equation*}

p 为自由变量 (free parameter)。

p 增大，波变尖。 因为波以恒定速度 v 传播，我们用 η 表达就很方便。 t=0 时， \(\eta=px\) η 与 x 正比； \(t\neq 0\) 正比于 \(x-vt\) 以 v 传播。（？固定标架）

设定在 η 的最大振幅为 \(A\) ，则顶峰附近 有二次近似 \(f\sim A(1-C\eta^2)\) （C 为常数）。故 \(\frac{\partial^3 f}{\partial x^3}\simeq 0\),去掉这项得到和 1.4 相同的方程。那么顶峰的速度为

\begin{equation} \tag{1.6} v=v_0+\alpha A^m \end{equation}

在底基处，因为 f (振幅)很小可略去非线性项（ f^m ）参考上文线性方程：

\begin{equation*} \tag{1.7} \left(\frac{\partial}{\partial t}+v_0\frac{\partial}{\partial x}+\delta\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)f(x,t)\sim0 \end{equation*}

然后这里应当使用 \(f\sim\exp[\pm(px-\Omega t)]\) 进一步计算位于底基的群/相速度（因为它不是三角函数叠加形式而是类似于指数递减，总之看图说话）

代入指数表达式得到 非线性色散关系 \(\Omega=v_0p+\delta p^3\) 得到速度

\begin{equation*} v=\frac{\Omega}{p}=v_0+\delta p^2 \tag{1.10} \end{equation*}

若满足顶峰和底基速度一致，那么 1.10 1.6 有等式

\begin{equation*} \delta p^2=\alpha A^m \end{equation*}

上述讨论说明了不能直接用三角函数平面波解，而应当使用衰减的指数函数，实际上可以完整地展开为指数形式

\begin{equation*} f(x,t)\sim \varepsilon a_{1}\exp(\eta)+\varepsilon^{2}a_{2}\exp(2\eta)+\cdots \end{equation*}

Hirota 就是借助像 \(f=G/F\) 的因变量变换找非线性微分方程的解。

不变的东西具有命名的价值

——米尔嘉

remark:如何说明展开式得到衰减指数：等比级数案例。后文再现～

\begin{gather*} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}u(t)=a(t)+2b(t)u(t)+u(t)^2, \\ u=\frac{g}{f} \quad u_t=\frac{g_tf-gf_t}{f^2}\\ g_tf-gf_t=a(t)f^2+2b(t)fg+g^2 \\ [g_t-a(t)f-b(t)g]f-[f_t+b(t)f+g]g=0.\\ \begin{cases}f_t+b(t)f+g&=\lambda(t)f,\\g_t-a(t)f-b(t)g&=\lambda(t)g.\end{cases} \end{gather*}

\begin{gather*} u_t=u_{xx}+2uu_x\\ u=w_x\longrightarrow w_t=w_{xx}+w^2_x+C\\ w=\log f \longrightarrow \frac{f_t}{f}=\frac{f_{xx}f-f_x^2}{f^2}+\frac{f_x^2}{f^2}+c\\ f_t=f_{xx}+cf \end{gather*}

Cole–Hopf transformation : \(u=(\log f)_x=f_x/f\)

逆变换

\begin{gather*} \phi_{xy}=\mathrm{e}^{\phi} \longrightarrow \mathrm{e}^{\phi}=-2(\log f)_{xy} \end{gather*}

\begin{gather*} \begin{cases}\left(\frac{\partial\phi_1}{\partial t}+c_1\frac{\partial\phi_1}{\partial x}\right)&=-\phi_1\phi_2,\\ \left(\frac{\partial\phi_2}{\partial t}+c_2\frac{\partial\phi_2}{\partial x}\right)&=\phi_1\phi_2, \end{cases}\\ \begin{cases}\xi&=(x-c_2t)/(c_1-c_2),\\\eta&=-(x-c_1t)/(c_1-c_2),\end{cases} \longrightarrow \begin{cases}\frac{\partial\phi_1}{\partial\xi}&=-\phi_1\phi_2,\\\frac{\partial\phi_2}{\partial\eta}&=\phi_1\phi_2,\end{cases}\\ \begin{cases}\phi_1&=-\frac{\partial}{\partial\eta}\log f,\\\phi_2&=\frac{\partial}{\partial\xi}\log f,\end{cases}\\ \frac{\partial^2}{\partial\xi\:\partial\eta}f=0.\\ f=(\xi)+v(\eta) \end{gather*}

双线性的方法

This method, through which we find solutions directly, without employing the inverse scattering method, will be referred to as the direct method. Outside of Japan it is called Hirota’s method.

KdV 为例子：

\begin{equation*} u_t+6uu_x+u_{xxx}=0 \end{equation*}

大致过程： 摄动法展开（ \(\varepsilon\) 为小参数），代入

\begin{gather*} u=\varepsilon u_1+\varepsilon^2u_2+\varepsilon^3u_3+\cdots \\ \begin{aligned} &\left(\frac\partial{\partial t}+\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)u_1 =0, \\ &\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)u_2 =-6u_{1}u_{1x}, \tag{1.83b} \\ &\left(\frac\partial{\partial t}+\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)u_3 =-6(u_2u_{1x}+u_1u_{2x}), \end{aligned}\\ \vdots \end{gather*}

取一个（非平面波的）指数解为 u₁ 代入 1.83b , a₁ ,P 为任意参数

\begin{gather*} u_1=a_1\exp\eta,\quad\eta=Px-\Omega t,\quad\Omega=P^3,\\ \left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)u_2=-6a_1^2P\exp2\eta \end{gather*}

对于 u₂ 可以取 \(u_2=a_2\exp 2\eta, a_2=-a_1^2/P^2\) 代入 1.83c 得到 u₃ 线性方程， 最终以此得到如下形式的解：

\begin{equation*} u=\varepsilon a_1\exp\eta+\varepsilon^2a_2\exp2\eta+\varepsilon^3a_3\exp3\eta+\cdots \end{equation*}

但 \(\eta\to\infty\) 可能会不收敛，为避免发散，可用 Pade 近似将 u 写作 G/F 比，不过这里 G,F 不好取。 另一种思路是用因变量代换 \(u=G/F\) 得到 F,G 的微分方程

将它代入 KdV

\begin{gather*} \begin{aligned} &u=\frac{G}{F}, \\ &u_{t} =\frac{G_{t}F-GF_{t}}{F^{2}}, \\ &u_{x} =\frac{G_{x}F-GF_{x}}{F^{2}}, \\ u_{xxx}& =\frac{G_{xxx}}{F}-\frac{3G_{xx}F_{x}+3G_{x}F_{xx}+GF_{xxx}}{F^{2}} \\ &+\:6\frac{G_xF_x^2+GF_{xx}F_x}{F^3}-\frac{GF_x^3}{F^4} \end{aligned}\\ \longrightarrow \begin{gathered} \frac{G_{t}F-GF_{t}}{F^{2}}+6\frac{G}{F}\frac{G_{x}F-GF_{x}}{F^{2}} \\ +\:\frac{G_{xxx}F-3G_{xx}F_{x}-3G_{x}F_{xx}-GF_{xxx}}{F^2} \\ +\:6\frac{FG_xF_x^2+FGF_{xx}F_x-GF_x^3}{F^4}=0. \end{gathered} \end{gather*}

画蛇添足 Snake’s legs :计算机很方便

找可以等于0的项

分母为 F² : \(G_tF-GF_t+G_{xxx}F-3G_{xx}F_x-3G_xF_{xx}-GF_{xxx}=0\) 但是对于一个解：

\begin{gather*} \begin{aligned}u&=\frac{2P^2\exp\eta}{(1+\exp\eta)^2},\\\eta&=Px-\Omega t,\end{aligned} \qquad\begin{aligned}\\&F=(1+\exp\eta)^2,\\&G=2P^2\exp\eta,\end{aligned} \end{gather*}

不符合。 反而，这个解符合上式稍微变化：将第五项 \(-3G_xF_{xx}\) 变号的结果

\begin{equation*} \begin{aligned}&\frac{G_{t}F-GF_{t}+G_{xxx}F-3G_{xx}F_{x}+3G_{x}F_{xx}-GF_{xxx}}{F^{2}}\\&+6(G_{x}F-GF_{x})\frac{GF-(FF_{xx}-F_{x}^{2})}{F^{4}}=0,\end{aligned} \end{equation*}

此处有双向奔赴，一则解恰巧满足一个形式，二则这个形式可以得到一个提出 G_xF-GF_x 的因子形式，不过这里省略了过程，可能是希望更快（神不知鬼不觉）显示出 D 算子作用后的 G_xF-GF_x 因子形式（似乎此处得到解耦形式并非最大目的）。

从而得到双线性解耦形式：

\begin{equation*} \begin{aligned} G_{t}F-GF_{t}+G_{xxx}F-3G_{xx}F_{x}+3G_{x}F_{xx}-GF_{xxx}=0,\\FF_{xx}-F_{x}^{2}-GF=0. \end{aligned} \end{equation*}

这里的结果在结构上很特殊，就此 Hirota 考虑引入算子 D

我建议直接把 D 理解为特殊的微分二元运算符，定义为 $D(f,g)=f_xg-fg_x$ ,反 lebniz 性质

\begin{gather*} D_{x}^{n}(a,b)\equiv\left(\frac{\partial}{\partial x}-\frac{\partial}{\partial y}\right)^{n}a(x)b(y)\bigg|_{y=x}=\frac{\partial^{n}}{\partial y^{n}}a(x+y)b(x-y)\bigg|_{y=0},\\D_{t}^{m}D_{x}^{n}(a,b)\equiv\left.\frac{\partial^{m}}{\partial s^{m}}\frac{\partial^{n}}{\partial y^{n}}a(t+s,x+y)b(t-s,x-y)\right|_{s=0,y=0} \end{gather*}

上面 D 算子又称 Hirota 导数

原书之后省略了算子之后的括号，只写作 $Df\cdot g$，但我认为形式上不省利于找到作用对象，故保留。

可导出一些简单结果：

\begin{equation*} \begin{aligned} &D_{x}(G\cdot F) =G_{x}F-GF_{x}, \\ &D_{x}^{3}(G\cdot F) =G_{xxx}F-3G_{xx}F_{x}+3G_{x}F_{xx}-GF_{xxx} \\ &D_{x}^{2}(F\cdot F) =2(F_{xx}F-F_{x}^2), \end{aligned} \end{equation*}

上面的方程

\begin{equation*} \begin{aligned}(D_t+D_x^3)(G\cdot F)&=0,\\ D_x^2(F\cdot F)-2GF&=0.\end{aligned} \end{equation*}

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下面做另一个因变量代换

\begin{equation*} u=2(\log f)_{xx} \end{equation*}

代入（？），得到双线性方程，取 c=0 写作 D 算子形式：

\begin{gather*} \frac{\partial}{\partial x}[(f_{xt}f-f_xf_t+f_{xxxx}f-4f_{xxx}f_x+3f_{xx}^2)/f^2]=0,\\ f_{xt}f-f_xf_t+f_{xxxx}f_x-4f_{xxxx}f_x+3f^2_{xx}=cf^2 \\ (D_xD_t+D_x^4)(f\cdot f)=0. \end{gather*}

书注：

1. 取 c 为0是找一个孤立波的方法
2. 结果也可分解为 \(D_x(D_t+D_x^3)(f\cdot f)=0\) ……

使用摄动展开，代入上式

\begin{gather*} f=1+\varepsilon f_1+\varepsilon^2 f_2+\varepsilon^3f_3+\cdots\\ \begin{aligned} \varepsilon:&D_x(D_t+D_x^3)(f_1\cdot1+1\cdot f_1)&=0,\\\varepsilon^2:&D_x(D_t+D_x^3)(f_2\cdot1+f_1\cdot f_1+1\cdot f_2)&=0,\\\varepsilon^3:&D_x(D_t+D_x^3)(f_3\cdot1+f_2\cdot f_1+f_1\cdot f_2+1\cdot f_3)&=0,\end{aligned} \end{gather*}

首先解 f₁ 即：

\begin{equation*} \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)f_1=0 \end{equation*}

对应一个孤立波（不知道怎么看出来）的解是

\begin{equation*} f_1=\mathrm{e}^{\eta_1} \qquad \eta_1=P_1x+\Omega_1 t+\eta_1^0,\quad\Omega_1+P_1^3=0 \end{equation*}

代入二式 f₂ :

\begin{equation*} 2\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial}{\partial t}+\frac{\partial^3}{\partial x^3}\right)f_2=-D_x(D_t+D_x^3)(f_1\cdot f_1). \end{equation*}

右边是都是 D 算子的奇次方的同项作用为0，于是取 \(f_2=0\) 并就此截断（后面也不一定为0?）。故

\begin{equation*} f=1+\varepsilon f_1=1+\mathrm{e}^{\eta_1} \end{equation*}

(将 ε 收到指数相位里（？）

进一步，这被认为给出拉一孤子解：

\begin{equation*} u=2[\log(1+\exp\eta_1)]_{xx}=\frac{2P_1^2\exp\eta_1}{(1+\exp\eta_1)^2}=\frac{P_1^2}{2}\sinh^2\frac{\eta_1}{2} \end{equation*}

书注：

1. \(\eta_1,P_1\) 前者定位置，后者定振幅
2. D 的反对称使得可以在有限项截断…

3. 要解二孤子解，对 f 使用线性叠加原理，取

   \begin{equation*} f_1=\mathrm{e}^{\eta_1}+\mathrm{e}^{\eta_2} \quad \eta_{i}=P_{i}x+\Omega_{i}t+\eta_{i}^{0},\:\Omega_{i}+P_{i}^{3}=0\textrm{\ for\ }i=1,2. \end{equation*}

   在 f₃ 截断：

   \begin{equation*} f=1+\varepsilon(\exp\eta_1+\exp\eta_2)+\varepsilon^2a_{12}\exp(\eta_1+\eta_2). \end{equation*}

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画蛇添足

这就构成了核心部分

This is done because the author has often been unable to gather such information from mathematics books without reading them thoroughly.

KdV