WAO 讲义

2.1.1. 求解通解：包含一切的形式

1. 微分方程的求解
   

   一个微分方程，它与代数方程很相似的（数学家绞尽脑汁让它们看起来用起来相似） 几阶方程就会有（最多）有几个解（并且这里我们认为只有这么多） 数看起来是稳定的，唯一的，函数则是在一个无限的空间中表达这各不相同的对应关系的映射。下面我们采取一种形式上直观但忽略证明细节的方式说明它们的相似以及为什么我们使用 \(\mathrm{e}^{\lambda t}\) 解微分方程。

   代数基本定理告诉我们 n 次多项式，可以被因式分解为多项式

   \(a_nz^n+\cdots+a_1z+a_0=a_n(z-r_1)\cdots(z-r_n)\) 对于 n 解微分方程，可以得到

   \begin{align} \label{eq:41} a_n \frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}+\cdots+a_1 \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+a_0&=0\\ a_n(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-r_1)\cdots(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-r_n)x &= 0 \end{align}

   事实上， \(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\) 与代数方程 z 是同样的，它们也是可以交换的 ，于是解 n 解微分方程可以不断交换得到这样的形式，然后像代数方程得到 \((\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}-r_i)x=0\) 也就是 \(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=r_ix\)

   这个方程的解是指数形式，这可以解释三角函数成立原因（结合 Euler 公式） 同时也是我们使用 \(\mathrm{e}^{\lambda t}\) 方法的有效性的原因。

   同时代数方程是有限解一样 对于线性方程 我们接受齐次二阶方程使用两个线性无关的解就可以线性组合处所有的通解。³

   因此我们又一次得到方程是，好的这给了后面的解提供的思考，从物理上讲，加阻尼后，变化基本是不变的，仅仅有一些细节的差异。 我么可以不妨使用 尝试方程的解

   ，

   但如果是非齐次方程（方程右段有一个与 x 无(显式)关特殊项，比如力） 只需要假如一个满足右端项的特解，就可以解出所有的解了。⁴

   即，非齐次方程的解为（非齐次方程）对应齐次方程（也就是这个非齐次方程去掉与 x 无关的项的方程）的通解加上一个非齐次的特解。

2. 二阶齐次通解：
   

   刚刚我们知道二阶齐次的通解一般可以用下面形式来表达。 \(x=A\sin(\omega t)+B\cos(\omega t),\quad x=C_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+C_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t}\) 我们之所以一般采用前面的形式因为它自动取了实部有直观使用三角函数，当然往往后面的更好解且形式更一般

   对于取实部而言 \(C_1^{*}=C_2\) ，进一步简化可以写作 \(x=A\cos (\omega x+\phi),\quad A=2C_2\) 理由： \(C_1=a_1+b_1 \mathrm{i},\quad C_2=a_2+b_2 \mathrm{i}\) \(C_1(\cos \omega t+i\sin \omega t)+C_2(\cos \omega t-i\sin \omega t)\) 得证。

   使用 \(\mathrm{e}^{\lambda t}\) 代入解出 \(\lambda\) 即得到通解，这是齐次线性微分方程通用的特征方程解法。

   对于二阶方程问题，它转化为二次方程的问题。 equ

   根据判别式，有三种情况。 \[\Delta = \gamma^2-4(\omega_0^2)^2\]

   • 两个相同的实根
   • 两个不同的实根
   • 两个共轭的虚根 ⁵

   \paragraph{临界 (critical)} 相同实根 \(\gamma = 2\omega_0^2\)

   特征方程的解： \(\lambda=\frac{-\gamma}{2}\)

   微分方程的解： \(x=(C_1+C_2t)\mathrm{e}^{\lambda t}=(C_1+C_2t)\mathrm{e}^{-\frac{\gamma}{2}t}\)

   此时下降速度最快 \paragraph{过阻尼（overdamped)} 两个不同实根 \(\gamma <> 2\omega_0^2\)

   特征方程的解： \(\lambda_{1,2}=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2 - 4\omega_0^4}}{2}\)

   微分方程的解： \(x=C_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t}+C_2\mathrm{e}^{\lambda_2 t}=\mathrm{e}^{-\frac{\gamma}{2}t}(C'_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+C'_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t})\)

   直接下降 \paragraph{欠阻尼(underdamped)} 两个共轭虚根 \(\gamma <> 2\omega_0^2\)

   特征方程的解： \(\lambda_{1,2}=\frac{-\gamma\pm \mathrm{i}\sqrt{-\Delta}}{2}=\frac{-\gamma\pm \mathrm{i}\sqrt{4\omega_0^4-\gamma^2}}{2}\)

   微分方程的解： \(x=C'_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t}+C'_2\mathrm{e}^{\lambda_2 t}=\mathrm{e}^{-\frac{\gamma}{2}t}(C'_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+C'_2\mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega t})=\mathrm{e}^{-\frac{\gamma}{2}t}(C_1\cos(\omega t)+C_2\sin(\omega t))=A\mathrm{e}^{-\frac{\gamma}{2}t}\cos(\omega_u t+\phi)\)

   有周期性，同样以负指数减小

   具体情况 假如无 减小幅度

3. 二阶非齐次：加上驱动力
   

   现在考虑非齐次，对于弹簧振子我们主要研究有外力的情况⁶

   一般外力的形式取 \(F=\cos (\omega t+\phi)\) 这里 \(\omega\) 区别于之前的情况。 于是方程为

   \begin{equation} \label{eq:61} \ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega^{2} x=F \end{equation}

   注意，这里（以及下面） \(F=\frac{F_d}{m}\) 单位是只是取这个字母方便理解 如果使用微分方程知识，那么非常直白，我们取一个特解就得到通解。 不理解的话就是，齐次通解加非齐次特解得到非齐次通解 \(x=x_p+x_h\) 对于 \(x_h\) 我们已经 eqn

   因此只要研究特解 \(x_p\) 就可以得到通解了。（之后代入实际条件就可以解出系数得到完整方程）

   方程右端是余弦函数 \(\cos\) 于是我们取特解形式为 \(A_p\cos (\omega t +\phi)\)⁷

   方程左侧是 举两个奇妙的小方法 [有能力者可以跳过看下一部分]首先仍然使用函数组合代入

   \begin{equation} \label{eq:60} x(t)=A\cos\omega t+B\sin\omega t,\quad \dot{x}=\omega(A\sin\omega t-B\cos \omega t) \end{equation}

   代入 ref 得到

   \begin{equation} \label{eq:62} \begin{split} \omega^2(-A\sin\omega t-B\sin\omega t)+\gamma\omega(A\sin\omega t-B\cos \omega t)+\omega_0(A\cos\omega t+B\sin\omega t)=F\cos\omega t\\ (-\omega^2B-\gamma\omega A+\omega^2_0B)\sin\omega t+(-\omega^2+\gamma\omega+\omega^2_0)\cos\omega t=F\cos \omega t \end{split} \end{equation}

   于是左右对应系数相等

   \begin{align*} \label{eq:64} -\omega^2B-\gamma\omega A+\omega^2_0B=0 \\ -\omega^2+\gamma\omega+\omega^2_0=F \end{align*}

   得到

   \begin{equation} \label{eq:65} A=\frac{(\omega_0^2-\omega^2)F}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2},\quad B=\frac{\gamma\omega F}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2} \end{equation}

   即为结果

   \paragraph{法贰}事实上，可以直接

   \begin{equation} \label{eq:66} \ddot{x}+\gamma \dot{x}+\omega_0^2x=F\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \end{equation}

   使用 \(x=C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\) 于是

   \begin{equation} \label{eq:67} -\omega^2C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+\gamma \mathrm{i}\omega C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}+\omega_0^2C\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}=F\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} \end{equation}

   消去 \(\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\) 得到 C

   \begin{equation} \label{eq:68} \begin{split} C = \frac{F}{\omega_0^2-\omega^2+\mathrm{i}\gamma\omega}=\frac{F}{\omega_0^2-\omega^2+\mathrm{i}\gamma\omega}\frac{\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2-\mathrm{i}\gamma\omega} \\ =\frac{(\omega_0^2-\omega^2)F}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2} - \frac{\gamma\omega F}{(\omega_0^2-\omega^2)^2+\gamma^2\omega^2}\mathrm{i} \end{split} \end{equation}

   与上式 ref 相同

   \paragraph{法叁}[绝妙]向量角度 一般的三角函数可以写成

   \begin{equation} \label{eq:69} x(t)=A\cos(\omega t+\phi) \end{equation}

   代入 如果你知道一般的正余弦三角函数求导的公式

   \begin{equation} \label{eq:71} (\cos t)^{(n)}=\cos(t+\frac{n\pi}{2}),\quad (\sin t)^{(n)}=\sin(t+\frac{n\pi}{2}) \end{equation} \begin{align} \label{eq:70} -\omega^2A\cos(\omega t+\phi+\pi)+\gamma\omega A\cos(\omega t+\phi+\frac{\pi}{2})+\omega_0^2A\cos(\omega t+\phi)=F\cos\omega t\\ -\omega^2A\cos(\omega t+\phi)-\gamma\omega A\sin(\omega t+\phi)+\omega_0^2A\cos(\omega t+\phi)=F\cos\omega t\\ ? \end{align}

   都当成 \(\cos\) 来解，我们看上面这个式子

   取原来的 \(\omega_0^2A\) 为水平的一个向量，那么 \(\gamma\omega A\) 就是垂直于它，最后 \(\omega^2A\) 垂直与 和 平行 它们的向量组合得到 \(F\)

   有什么用呢，画个三角形立刻可以得到角度，振幅这些我们设出的位置量 角度：

   \begin{equation} \label{eq:72} \tan\phi=\frac{\gamma\omega A}{(\omega_0^2-\omega^2)A}=\frac{\gamma\omega}{\omega_0^2-\omega^2} \end{equation}

   A 和 F 的关系（勾股定理）

   \begin{align} \label{eq:74} (\gamma\omega A)^2+((\omega_0^2-\omega^2)A)^2=F^2 \\ A=\frac{F}{\sqrt{(\omega_0^2-\omega^2)^2-\gamma^2\omega^2}} \end{align}

   方便起见，我们以后使用 \(x_p=A \cos(\omega t+\phi)\)

2.1.2. 精巧的驱动，同声相应的共振

1. 来去守恒的能量，此消彼长的功率
   

   众所周知，系统总能量等于动能加上势能，于是 因此我们需要速度 即对位移的导数

   \begin{equation} \label{eq:48} v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=A\mathrm{e}^{-\gamma t/2}(\frac{-\gamma}{2}\cos(\omega_u t)-\omega_u\sin\omega_ut) \end{equation} \begin{equation} \label{eq:47} \begin{split} E &= \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2\\ &= \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=A^2\mathrm{e}^{-\gamma t}(\frac{-\gamma}{2}\cos^{2}(\omega_u t)-\omega_u\sin\omega_ut)+\frac{1}{2}kA^2\mathrm{e}^{\gamma t}\cos^2\omega_u t \\ &\cdots\\ &=\frac{1}{2}\\ &=\frac{1}{2}mA\mathrm{e}^{-\gamma t}(\frac{\gamma^2}{4}\cos2\omega_{0}t+\frac{\gamma\omega}{2}\sin2\omega_{0}t+\omega_0^2) \end{split} \end{equation}

   平均而言，三角函数被消去，它们不会其主要作用 或者计算平均能量可以更名弦看出这一点

   \begin{equation} \label{eq:49} \left\langle E \right\rangle=\frac{1}{2}m\omega_0^2A^2\mathrm{e}^{-\gamma t}=\frac{1}{2}kA\mathrm{e}^{-\gamma t} \end{equation}

   那么能量损失情况如何呢 不妨使用能量对时间的导数 发现

   \begin{equation} \label{eq:50} \frac{\mathrm{d}\left\langle E \right\rangle}{\mathrm{d}t}=\gamma \left\langle E \right\rangle \end{equation}

   可以想到就是因为阻尼（理解为摩擦能量损耗等等） ? 对于一般情况， 使用 \(E = \frac{1}{2}m\dot{x}^2+\frac{1}{2}kx^2\)

   \begin{equation} \label{eq:51} \frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=m\dot{x}+kx\dot{x}=(-b\dot{x})\dot{x} \end{equation}

   同样可以直接由阻尼力的功率得到 \(F_dv=(-b\dot{x})\dot{x}=-b\dot{x}^2\) 于是平均 已知平均能量是两倍的动能\(\left\langle E \right\rangle=m \left\langle \dot{x} \right\rangle\) !

   重新得到\[\frac{\mathrm{d}\left\langle E \right\rangle}{\mathrm{d}t}=-\frac{b}{m}\left\langle E \right\rangle =\gamma \left\langle E \right\rangle\]

2. 品质因素 Q
   

   定义一个值，

   \begin{equation} \label{eq:52} Q:=\frac{\omega_0}{\gamma} \end{equation}

   品质 自己的 共振

2.1.3. 相似系统

1. 摆
   

   数学摆

   \begin{equation} \label{eq:simplePendulum} -mg\sin\theta=m(l\ddot{\theta})\Rightarrow \theta+\omega^2\theta=0,\quad\omega=\sqrt{\frac{g}{l}} \end{equation}

   物理摆

   \begin{equation} \label{eq:physicalPendulum} -mgd\sin \theta=I\sin\ddot{\theta} \Rightarrow \ddot{\theta}+\omega^2=0,\quad\omega=\sqrt{\frac{mgd}{I}} \end{equation}

   \(I=md^2\) 显然，当 \(l\rightarrow d\) 时， 质心做法 \(\tau=I\alpha\)

2. RLC
   

   LC 关于电荷的方程

   \begin{equation} \label{eq:42} -L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}-\frac{Q}{C}=0 \end{equation} \begin{equation} \label{eq:45} -L\ddot{Q}-\frac{Q}{C}=0,\quad \ddot{Q}+\omega^2Q=0,\quad \omega=\sqrt{\frac{1}{LC}} \end{equation}

   无质量，可以类比\(\frac{1}{C}~k\)

2.2.1. 一般方程

2.2.2. 二生三：模式

1. N = 2
   

   首先就看两个质点

   方程为

   \begin{equation} \label{eq:10} \begin{pmatrix} -2\omega_{0}^2+\omega^{2} & -\omega^{2}\\ -\omega^2 & -2\omega_0^2+\omega^{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \end{equation}

   这是 \(Ax=0\) 的形式，因为我们认定 x 一定存在（物理也），于是 A 一定（存在线性相关量使得被 x 组合得到 0）行列式为 0，由 \(\left| A \right|=0\) 得到下式：

   \begin{eqnarray} \label{eq:16} ...\\ (\omega^2-2\omega_0^2)^2-(\omega^2)^2=0\\ \Rightarrow \omega^2-2\omega_0^2=\pm \omega_0^{2} \end{eqnarray}

   这个是无比简单清晰简单的，不过不使用行列式也可以得到同样结果的，比如下面这种方法。

   首先回到最开始的约束方程

   \begin{eqnarray} \label{eq:25} m\ddot{x_1} &= &-kx_1-k(x_1-x_2) \\ m\ddot{x_2} & = &-k(x_2-x_1)-k(x_2) \end{eqnarray}

   注意到它的形式是相当对称的，事实上我们可以可以想象或许可以通过某种组合能产生一些新的量它们具有更简单的形式，通过加减似乎可以办到这一点。

   \begin{eqnarray} \label{eq:26} (\ddot{x}_1+\ddot{x}_2) & = & -\omega_0^2(x_1+x_2)\\ (\ddot{x}_1-\ddot{x}_2) & = & -3\omega^{2}_0(x_1+x_2) \end{eqnarray}

   现在如果把 \(x_1+x_2\) 和 \(x_1-x_2\) 看作新的变量，方程似乎是非常简单的，那么我们为什么不试一试呢？

   这两个方程可以被迅速求解，分别得到

   \begin{eqnarray} \label{eq:27} x_1+x_2 & = & 2A_s\cos(\omega_0 t+\phi_s)\\ x_1-x_2 & = & 2A_f\cos(\sqrt{3}\omega_0 t+\phi_f) \end{eqnarray}

   我每次看到引入新的物理量就感到麻烦，尽管像此处是为了简单的求解方程，但是它的出现又掩盖了原先的量的关系，干扰了我对之前的记忆理解，并且使我觉得也许为了把最开始的物理量重新反求解出来会要更加麻烦。但为了能看懂后面的内容（假设我还没有放弃），我往往无法可想，只能接受，并尝试用自己的方法感受它的存在意义。

   但希望读者不要对新的物理量沮丧，因为马上我们就可以看出这新的物理量的实际含义，事实上，我们采用了它们之后，甚至可能让人有一种为什么不一开始就这样解方程，以更早发现的遗憾。

   首先，我们很轻易可以得到（因此上面用了二倍系数）：

   \begin{eqnarray} \label{eq:28} x_1 & = & A_f\cos(\sqrt{3}\omega_0 t +\phi) + A_s\cos(\omega_0 t +\phi)\\ x_2 & = & A_f\cos(\sqrt{3}\omega_0 t +\phi) - A_s\cos(\omega_0 t +\phi) \end{eqnarray}
   1. 分析出了两种模式
      

      解很对称，系数都是一样的，还有什么发现吗？

      画出图像似乎并不能说明什么，我们不妨看看之前两个新物理量，其实倘若想单独研究对应 \(x_1+x_2\) 的情况就等同于我们令 \(A_f=0\) 。这时得到 \[x_1=x_2=A_s\cos(\omega_0 t +\phi)\] 你应当可以因式到这是方程的一个解，而且是一个比较特殊的解，在这个情况下，两个质点方程的符号相同，它们始终朝同方向运动。十分有趣。

      对应另外一种情况\(A_s=0\) 。 \[x_1=-x_2=A_f\cos(\sqrt{3}\omega_0 t +\phi)\] 符号相反，两质点始终运动方向相反，就像互相排斥一样。它们二者组合，介于同向与反向之间的，就是最一般的通解形式 (\ref{eq:28}) 。

      于是在这种情况下，使用两个质点位置的和 \(x_1+x_2\) ，可以找到它们同向运动的程度满足的简单三角曲线关系，位置的差 \(x_1-x_2\) 可以找到它们互相反向运动“排斥”的程度。

      这样简单的形式，可以把复杂的情形拆解，有时候使得我们只要研究几种情形，就可以把一般的形式一眼看透。对于这些简单分立的形式

      有很多奇怪的名字，这里就使用模式来指称这个现象，它本质上模式就是（满足给定系统方程）不同频率的振动（特殊解解），它们的叠加（线性组合）勾勒了完整的图像在 N=2 的情况下，我们有“快”模式和“慢”模式，角频率分别是 \(\omega_f=\sqrt{3}\omega_0,\omega_s=\omega_{0}\) 可以猜想，在接下来 N=3 的系统里，我们也可以找到一些简单的模式（它可能有几个呢）。

      同时，可以意识到，类似的双摆等等 系统，它们受到的约束很强，自由度 很低，两个物体相互牵制，几乎不允许它有多样的运动。（这与我们的假设条件并无太多关系，比如你假设弹簧弹性系数不同，仅仅多了变量而改变 \(\omega\) 细节上变得复杂 ，但方程的整体形式依然类似） 这一点在之后我们解就会发现，波它多端的变化完全被约束在边界条件之中。

2. N = 3
   

   我们使用一般情况里方法使用行列式条件求解 [接续 N=2 上没有解完的方程]

   \begin{equation} \label{eq:18} \begin{vmatrix} -\omega^2+2\omega_0^2&-\omega_0^2&0\\ -\omega_0^2&-\omega^2+2\omega_0^2&-\omega_0^2\\ 0&-\omega_0^2&-\omega^2+2\omega_0^2 \end{vmatrix}=0 \end{equation}

   于是得到

   \begin{eqnarray} \label{eq:15} (2\omega_0^2-\omega^2)((2\omega_0^2-\omega^2)-(-\omega_0^2)^2)-(-\omega_0^2)(-\omega^2)(2\omega_0^2-\omega^2) & = & 0\\ \Rightarrow (2\omega_0^2-\omega^2)((\omega^2)^2-4\omega_0^2\omega^2+2(\omega_0^2)^2) & = & 0 \end{eqnarray}

   方程的解为

   \begin{eqnarray} \label{eq:21} \omega&=&\pm \sqrt{2}\omega_0 \\ \omega&=&\pm \sqrt{2+\sqrt{2}}\omega_0 \\ \omega&=&\pm \sqrt{2-\sqrt{2}}\omega_0 \end{eqnarray}

   此时，代入之前的矩阵可以得到 \(A_i\) 的关系

   以 \(\omega^2=(2+2 \sqrt{2})\omega_0^2\) 为例

   \begin{equation} \label{eq:19} \begin{pmatrix} \sqrt{2}\omega_0^2 & -\omega_0^2 & 0\\ -\omega_0^2 & \sqrt{2}\omega_0^2 & -\omega_0^2\\ 0 & -\omega_0^2 & \sqrt{2}\omega_0^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3 \end{pmatrix}=0 \end{equation}

   可以解得这个齐次代数方程的通解（可以直接观察）

   \begin{equation} \label{eq:22} \begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3 \end{pmatrix} =C_2 \begin{pmatrix} 1\\-\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix} \end{equation}

   其余同理于是通解如下：

   \begin{equation} \label{eq:23} \begin{split} \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\x_3 \end{pmatrix} &=C_1 \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\omega_0 t} +C_2 \begin{pmatrix} 1\\-\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix} \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega_0 t} +C_3 \begin{pmatrix} 1\\\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix} \mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega_0 t}\\ &=A_m \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix} \cos(\sqrt{2}\omega_0 t+\phi_{m})\\ &+A_f \begin{pmatrix} 1\\-\sqrt{2}\\-1 \end{pmatrix} \cos(\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega_0 t+\phi_{f})+\\ &+A_s \begin{pmatrix} 1\\\sqrt{2}\\-1 \end{pmatrix} \cos(\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega_0 t+\phi_{s})+\\ \end{split} \end{equation}

   可以发现对于 3 个质点它们的运动情况可以由 3 个形式叠加而得，可以说它有 3 中模式，mfs 对应的是频率（模式）慢中快。 这个通解形式只要给出 6 个初值条件（一般可以给 3 质点初始的位置和速度）即可得 6 个系数的结果。

2.2.3. N = N

2.2.4. 边界条件：约束带来的变

1. 有限的世界
   

   我们可以有无限的振子，但是不该有无限的长度（这是本质的），如果你认为波可以在无限长上发生，那可以先看看在有限的世界里面会发生什么。

   所谓有限解释可以找到边界，这里我们认为振子两边是”墙“振幅在所有时间恒为 0。数学上即 \(x_0=x_{n+1}\equiv0\)

   代入上文得到的通解中我们似乎可以发现一些惊人的限制条件产生了。

   1. \(x_0=0\) 的吞噬
      
      \begin{eqnarray*} \label{eq:30} 0=x_{0} & = &F\cos((n+1)\theta)\cos(\omega t+\beta)+G\sin((n+1)\theta)\cos(\omega t+\gamma) \\ &=& F\cos(\omega t+\beta) \end{eqnarray*}

      这对于任何时间 \(t\) 成立（与后面的因子无关），于是必然的，我们得到 \(F=0\) ，这意味着其中一项整个没有了。

   2. \(x_{n+1}=0\) 的锁限
      
      \begin{eqnarray*} \label{eq:31} 0=x_{n+1} & = &F\cos((n+1)\theta)\cos(\omega t+\beta)+G\sin((n+1)\theta)\cos(\omega t+\gamma) \\ &=& G\sin((n+1)\theta)\cos(\omega t+\gamma) \end{eqnarray*}

      这一次，我们不会一下消掉一项（那可真是白费功夫解出来了），但是更深刻的东西似乎揭示出来了，即角度的取值受到限制。

      其中 \(G\cos(\omega t+\gamma)\) 的部分，应当与 0 无关（我们不会也取 \(G=0\) 那样就整个振幅是 0），因此令 \(\sin((n+1)\theta)=0\) 。根据正弦函数性质（忘记的化看一看前面波的图像），正弦函数只在 \(n\pi\) 处取 0。显然字母要混淆了，因此我们用 m 和 N 把方程这样写。

      \begin{equation} \label{eq:20} \begin{split} (N+1)\theta &= m\pi\\ \Rightarrow \theta &= \frac{m\pi}{N+1},\quad N,m \in \mathbb{N} \end{split} \end{equation}

      于是，我们可以把 \(\theta\) 直接代回方程得到完整形式了。

      \begin{equation} \label{eq:29} \begin{split} A_n & = G\sin(\frac{nm\pi}{N+1})\\ x_{n} & = G\sin(\frac{nm\pi}{N+1})\cos(\omega t+\gamma) \end{split} \end{equation}

      同时，注意到 \(\theta\) 和 \(\omega\) 之间有 ref 关系，因此可以解得：

      \begin{equation} \label{eq:32} \begin{split} \cos\theta:&=\frac{2\omega_0^2-\omega^2}{2\omega^2_0}\\ \frac{\omega^2}{\omega_0^2}&=1-\cos\theta \\ \omega^2&=(2\omega_0^2)(2\sin \frac{\theta}{2})\\ \Rightarrow\omega&=2\omega_0\sin(\frac{m\pi}{2(N+1)}) \end{split} \end{equation}

      由此 \(A,\omega\) 两个至关重要的公式都得到了。

2. 梳理关联
   

   现在我们似乎已经集齐了所有的拼图，对于任意的质点振子连接都可以解得它们的情况了，只要有 m 对于给定系统我们就可以求出 \(\omega\) 了，然后得到各个系数的。

   但是可能你会觉得有一点混乱，这很正常，因为最为关键的一个条件是被给予的，一个我们作出的假设： 你当然也可能想如果一开始就设 那样就得到了，不过根本上我们之前无法获知 A 的形式

   m 可以取什么值，注意到上面解的限制是正整数， N 肯定不能是 0 或负数， m 如果是 0，（振幅为 0）也没有意义（那么为什么不能取负数呢：对称性），如果是 N+1 ，\(\sin \frac{N+1}{N+1}=0\) 。至少在到 N 的范围内 m 是可以取的。大于 N+1 的情况呢？（它们已经被包含）

   现在，我们可以意识到 \(\omega\) 只能取分立的值，这一点是边界条件施加后三角函数所要求的。但对于具体情况总体上看可能不太直观，我们不妨回到熟悉的情形，当 N 还小，一切都在掌握之中的时候……

3. 叠矩重规
   

   整体的顺序是较为统一的，不过我建议有兴趣者先读后面推广里面的 绳结振动，当然不看也是完全可以的。

   1. N = 2⁹
      

      我们先取 m 为 1 和 2 。

      • \(m=1\)

      \begin{equation} \label{eq:34} \begin{split} \omega = 2\omega_0\sin(\frac{1\pi}{2(2+1)})=2\omega_0\sin \frac{\pi}{6}&,\quad A_n=G\sin(\frac{1n\pi}{2+1})=\sin(\frac{3n}{\pi})\\ \quad\omega=\omega_0&,\quad \begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix} =C \begin{pmatrix} \sin \frac{\pi}{3}\\\sin \frac{2\pi}{3} \end{pmatrix}=C \begin{pmatrix} 1\\1 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation}

      • \(m=2\)

      \begin{equation} \begin{split} \omega = 2\omega_0\sin(\frac{2\pi}{2(2+1)})=2\omega_0\sin \frac{\pi}{3}&,\quad A_n=G\sin(\frac{2n\pi}{2+1})=\sin(\frac{2\pi}{3})\\ \quad\omega=\sqrt{3}\omega_0&,\quad \begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix} =C \begin{pmatrix} \sin \frac{2\pi}{3}\\\sin \frac{4\pi}{3} \end{pmatrix}=C \begin{pmatrix} 1\\-1 \end{pmatrix} \end{split} \end{equation}

      因为之前付出努力，这里得到解无比轻易。

      现在进入未知的海域：

      • \(m=4\)

      \begin{align*} \omega = 2\omega_0\sin(\frac{4\pi}{2(2+1)})=\sqrt{3}\omega_0 ,\quad \begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix} =C \begin{pmatrix} \sin \frac{4\pi}{3}\\\sin \frac{8\pi}{3} \end{pmatrix}=C \begin{pmatrix} -1\\1 \end{pmatrix} \end{align*}

      结果与 \(m=2\) 相同。

      事实上，可以注意到

      我们采用一个形象的图解法，这时提到的绳结的意义。 我们想象一个弦，我们取 N 个点，即分 N+1 次。然后，画一个波的图像：三角函数，它的范围取 m 半个周期。

      此时刚好可以看出，上图中两个点同步同向振动，下图反向振动，结合上面 \(\begin{pmatrix} A_1\\A_2 \end{pmatrix}\) 表达式这是完全一致。 当然事实上，只有两个点，不过我们使用一个完整的三角函数可以完美地拟合。

      对于频率则是切分 \(\frac{\pi}{2}\) ，切分次数为 \(\frac{1}{N+1}\) 两个质点，我们使用 3 等分，正好得到 \(\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}\) 。下面对于 3 个情况。

   2. N = 3
      

      直接使用弦的思路，即半周期、整周期、一个半周期，并标出 4 等分位置。 于是得到：

      \begin{align} \label{eq:35} \omega_s = 2\omega_0\sin(\frac{\pi}{2(3+1)})=\sqrt{2-\sqrt{2}}\omega_0 &,\quad \begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3 \end{pmatrix} =C \begin{pmatrix} \sin \frac{\pi}{4}\\\sin \frac{2\pi}{4}\\\sin \frac{3\pi}{4} \end{pmatrix}=C \begin{pmatrix} 1\\\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix}\\ \omega_m = 2\omega_0\sin(\frac{2\pi}{8})=\sqrt{2}\omega_0 &,\quad \begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3 \end{pmatrix} =C \begin{pmatrix} \sin \frac{2\pi}{4}\\\sin \frac{4\pi}{4}\\\sin \frac{6\pi}{4} \end{pmatrix}=C \begin{pmatrix} 1\\0\\-1 \end{pmatrix}\\ \omega_f = 2\omega_0\sin(\frac{3\pi}{8})=\sqrt{2+\sqrt{2}}\omega_0 &,\quad \begin{pmatrix} A_1\\A_2\\A_3 \end{pmatrix} =C \begin{pmatrix} \sin \frac{3\pi}{4}\\\sin \frac{6\pi}{4}\\\sin \frac{9\pi}{4} \end{pmatrix}=C \begin{pmatrix} 1\\\sqrt{2}\\1 \end{pmatrix} \end{align}

      一一吻合。

   3. 等价
      

      所有满足下面等式的 \(m'\) 都可以满足。 \(m'+m=2ak(N+1)\)

2.2.5. 一种思路

2.2.6. 推广和等价系统

1. 阻尼外力
   

   共振又出现了，像之前所言，细节上变得复杂了但是核心没有变化。

2. 双摆
   

   太经典的周期运动了， 非线性方程它还要出场

3. 绳结振动
   

   微小尺度，模型近似
   受力一致，小角近似
   

   很多书喜欢谈论这个，因为你可以在这里看到“节点”，但是我认为使用通常（也是这里）采取的假设与节点比较是十分荒唐的，不过这个模型也犹他的价值，我们稍微仔细谈论一下。

   现在我们不考虑重力，有一根物理理想轻绳（考虑它的受力但不考虑它的质量带来的惯性重力），上面固定了一些物体质点（你如果之后对它的运动感到奇怪可以认为它们是有质量的绳结），为简单考虑假设它们等距等质量分布在绳子上。 如果给它轻微扰动，请问各个会如何振动，决定运动方程的会是那些量？

   与弹簧振子相比，绳子类似一个横波，因为振动的时候，波形从左向右变化，而每一个质点（近似）上下振动（如果你像我开始一样认为它们几乎不可能完美地上下振动，那么就把它们都上下振动当作一个必要的近似假设），弹簧振子运动传递的方向和振动的方向是一致的。

   这个模型需要很多近似的假设，根本上而言，它的振动很小 （但这个近似与摆有差异因为摆的方程具有一定统一性，但这里物理规律只能在小的尺度，大尺度下考虑神的弹力就完全不一样了） 。所以我们得到它们的间距近似不变（设为 \(l\)），整个绳子的张力处处相等（设为 \(T\)）。

   我们直接使用 \(\psi\) 来表示位移，，我们研究一个聚焦到一个质点，得到递推式。

   仍然是从牛顿定律出发列方程。

   \begin{equation} \label{eq:36} m\ddot{\psi}=-T\sin\theta_{n-1}-T\sin\theta_{n+1} \end{equation}

   为了引入其它质点位移，我们采用小角近似 \(\sin\theta\approx\tan\theta\)¹⁰

   ，再设 \(\omega_0^2=\frac{T}{m}\) 于是我们可以得到

   \begin{equation} \label{eq:37} \ddot{\psi}=-\omega_0^2(\frac{\psi_n-\psi_{n-1}}{l}+\frac{\psi_n-\psi_{n+1}}{l}) \end{equation}

   于是得到和 ref 同样的形式：

   \begin{equation} \label{eq:38} \ddot{\psi}=\omega_0^2(\psi_{n-1}-2\psi_n+\psi_{n+1}) \end{equation}

   就此可以知道一切紧绷的弦振动的近似结果。

2.2.7. 纵波推导波动方程

1. 解的形式
   

   使用 \(\psi(x,t)=a(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\) 代入

   \begin{eqnarray} \label{eq:12} \rho \frac{\partial^2}{\partial t^2}a(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t} & = & E \frac{\partial^2}{\partial x^2}a(x)\mathrm{e}^{\mathrm{i}\omega t}\\ -\omega^2\rho a(x) &=& E a''(x) \\ a''(x)&=&-\frac{\rho\omega^2}{E}a(x) \end{eqnarray}

   所以，令 \(k:=\omega \sqrt{\frac{\rho}{E}}\) 则 \(a\) 的解为 \[a=A\mathrm{e}^{\pm\mathrm{i}kx}\] 此处 \(k\) 为波数，单位 \(\rm{}\frac{1}{s}\sqrt{\frac{kg/m}{kg\cdot m/s^2}}=\frac{1}{m}\) 因此检验 \(kx\) 为无量纲量，是合理的。同时我们可以从这个式子重新定义波长， \[\lambda := \frac{2\pi}{k} \]

   言归正传，把最后结果代回 \(\psi\) 得到

   \begin{eqnarray} \label{eq:13} \psi(x,t)&=&A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\pm kx\pm\omega t)}\\ &=&A_1\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx+\omega t)}+A_1^{*}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-kx-\omega t)}+A_2\mathrm{e}^{\mathrm{i}(kx-\omega t)}+A_2^{*}\mathrm{e}^{\mathrm{i}(-kx+\omega t)} \end{eqnarray}
2. 一般形式
   

   同时，可以定义 \[v=\frac{\omega}{k}\] 效果上如取 \(kx-\omega t=0\) 类似于看等高面的变化 于是可以把波动方程写为

   \begin{equation} \label{eq:14} \frac{\partial^2\psi}{\partial t^2}=v^{2} \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2},\quad \ddot{\psi}-v^2\psi''=0 \end{equation}

   (使用点表示对时间求导，撇对空间求导)越来越简洁的形¹¹式 然而它对我们暂时都作用不大， 因为更强有的数学工具还没有完全具备——时频变换：傅里叶变换。

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   • 解
   • 模式

3.1.1. 三角函数正交性：傅里叶变换为什么可以

3.1.2. Fourier 级数到变换

3.1.3. 时间频率

3.2.1. 推导

3.2.2. 反射透射

3.2.3. 驻波？

3.3.1. 电磁波的推导

3.3.2. 偏振

3.4.1. 基本形式

3.4.2. 简谐振子

3.4.3. 径向氢原子

4.1.1. 近似

4.1.2. 通解：

4.1.3. 关联