牛顿

1. 二项式展开
- 1.1. 组合数
- 1.2. 递推的广义二项展开
  - 1.2.1. 计算案例
2. 逆级数
3. 正弦级数推导（牛顿版）
4. 积分
5. 参考

数学的陈列室

大名鼎鼎的人物，不同凡响的思维，历史掩盖了曾经的光辉。

尽管本章仅限于讨论牛顿早期的工作，但是需要指出，牛顿“早期的工作”几乎总是超越其它任何人深思熟虑的工作。

师从巴罗（据信已经发现微积分基本公式）

牛顿（以及前后的数学家）善于从幂级数中发现函数的秘密

动机： 牛顿如何得到三角函数的级数展开～不直接使用求导（泰勒展开）如何得到幂级数形式的三角函数

1. 二项式展开

发明了 \(a^{-1}:=\frac{1}{a};a^{1/2}:=\sqrt{a}\)

将二项式化简为级数的简单方法。

化简：对于当时而言，可能多项式更容易理解
简单：牛顿先生自己发明的东西可能自己用格外顺手

可能的想法：通过观察帕斯卡三角（杨辉三角）推广

0: 1
1: 1 1
2: 1 2 1
3: 1 3 3 1
4: 1 4 6 4 1
5: 1 5 10 10 5 1

\begin{matrix} 0:& 1& \\ 1:& 1& 1& \\ 2:& 1& 2& 1 \\ 3:& 1& 3& 3& 1 \\ 4:& 1& 4& 6& 4& 1 \\ 5:& 1& 5& 10& 10& 5& 1 \\ \end{matrix}

加入分数，自然而然的想法是：

第一列是1
第二列是行数（1,2,3,…）
第三列寻找规律： 0,1,3,6,10… \(\frac{1\times(1-1)}{2},\frac{2\times (2-1)}{2},\frac{3\times(3-1)}{2},\frac{4\times(4-1)}{2},\frac{5\times(5-1)}{2}\dots\) 公式： \(\frac{n\times(n-1)}{2}\)
之后： 0次，1次，2次…之后应该是高次，再除以某个数：找规律： \(\frac{n(n-1)(n-2)}{3!},\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!},\dots,\frac{n(n-1)\cdots(n-m-1)}{m!}\)

\begin{matrix} 0:& 1& \\ \frac{1}{2}:&1&\frac{1}{2}&-\frac{1}{8}&\cdots\\ 1:& 1& 1& \\ \frac{3}{2}:&1&\frac{3}{2}&\frac{3}{8}&\cdots\\ 2:& 1& 2& 1 \\ \frac{5}{2}:&1&\frac{5}{2}&\frac{5}{8}&\cdots\\ 3:& 1& 3& 3& 1 \\ \frac{7}{2}:&1&\frac{7}{2}&\frac{7}{8}&\cdots\\ 4:& 1& 4& 6& 4& 1 \\ \frac{9}{2}:&1&\frac{9}{2}&\frac{9}{8}&\cdots\\ 5:& 1& 5& 10& 10& 5& 1 \\ \end{matrix}

此时可以注意到：非整数的行会无限延伸，总是可以计算出不为0下一项,事实上整数是因为得到了0于是之后地向无法存在。

1.1. 组合数

以上和高中数学讲的组合数一致，事实上，如果从组合出发可以得到整数的情况就是组合数

因此可以想见推广浙一结论就是

以上应当比较简单。

1.2. 递推的广义二项展开

在书中给出了广义二项展开和递推的形式

\begin{equation} \label{eq:1} \begin{split} (p+pq)^{\frac{m}{n}}& = p^{\frac{m}{n}}+\frac{m}{n}\overbrace{A}^{p \frac{m}{n}}q+\frac{m-n}{2n}\overbrace{B}^{\frac{m}{n}Aq}q+\frac{m-2n}{3n}\overbrace{C}^{\frac{m-n}{2n}Bq}q+\frac{m-3n}{4n}\overbrace{D}^{\frac{m-2n}{3n}Cq}q+\dots \end{split} \end{equation}

这里 \(A,B,C,D\dots\) 均表示前一项

1.2.1. 计算案例

展开 \(\sqrt{c^2+x^2}\)

此处 \(p=c^2,q=\frac{x^2}{c^2},m=1,n=2\)

\begin{equation} \label{eq:2} \begin{split} \sqrt{c^2+x^2}&=(c^2)^{\frac{1}{2}}+\frac{1}{2}A \frac{x^2}{c^2}+\frac{1-2}{2\times 2}B \frac{x^2}{c^2}+\frac{1-2\times 2}{3\times2}C \frac{x^2}{c^2} \\ &= c+\frac{1}{2}c \frac{x^2}{c^2}-\frac{1}{4}\frac{x^2}{2c}\frac{x^2}{c^2}-\frac{1}{2}\frac{-x^4}{8c^3}\frac{x^2}{c^2}+\cdots \\ &= c+\frac{x^2}{2c}-\frac{x^4}{8c^3}+\frac{x^6}{16c^5}+\cdots \end{split} \end{equation}

可能当代人已经习惯了直接使用公式，不过真正计算起时，牛顿给出的递推表示具有不同寻常的吸引力。

展开 \((1-x^2)^{-\frac{1}{2}}\)

此时更简单

\begin{equation} \label{eq:3} \begin{split} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}&=1+\frac{-1}{2}(-x^2)+\frac{\frac{-1}{2}\times \frac{-3}{2}}{2}\frac{x^2}{2}(-x^2)+\frac{\frac{-1}{2}-\frac{-5}{2}}{3}\frac{3x^4}{8}(-x^2)+\cdots\\ &=1+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+\frac{5}{16}x^6+\frac{35}{128}x^8+\cdots \end{split} \end{equation}

你甚至可以检验它的平方是等比数列的结果：

\begin{equation} \label{eq:4} \begin{split} &(1+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+\frac{5}{16}x^6+\frac{35}{128}x^8+\cdots)\times\\ &(1+\frac{1}{2}x^2+\frac{3}{8}x^4+\frac{5}{16}x^6+\frac{35}{128}x^8+\cdots)\\ &=1+(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})x^2+(2\times \frac{3}{8}+\frac{1}{2}\times \frac{1}{2})x^4+(2\times \frac{5}{16}+2\times (\frac{1}{2}\times \frac{3}{8}))x^6\cdots\\ &=1+x^2+x^4+x^6+x^8+\cdots\\ &=\frac{1}{1-x^2} \end{split} \end{equation}

一项一项整齐划一十分神奇

这样会消除那些其原始形式看起来几乎无法逾越的困难

我之前也已经习惯了不过事实上我认为我的确并不理解，我只是认同了使用分数根式南至余特殊字母组合表示的

下面我们哪个特殊字母组合的函数的破解秘密做最后的准备

2. 逆级数

一次取一个

3. 正弦级数推导（牛顿版）

关于正弦和余弦的这些级数第一次出现在了欧洲人的手稿里。

印度数学家据信更造就已经发现了这个级数。

4. 积分

积分 quadrature intergal

5. 参考

泰勒思路

牛顿

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