复分析笔记*|

全纯函数的特性。

积分公式：一个结果用积分表达出来

把它用这样复杂写出来的功能是什么，积分的性质非常好，它可微；积分估计比微分简单（三角不等式）；甚至可以写出微分形式。

同样也可以算是以后公式的特例

\(\frac{F}{z-a}\) 有了分母不一定全纯，那么就是考虑 a 附近。于是再次用之前定理

和 \(\varepsilon\) 无关有极限，是一个平均值

可以估计这个平均值。 F 连续，只要够近，就可以限制在很小范围内

有机会看？没讲

这给之后非全纯、偏微分方程有启发。

选 a 点，的值和边界积分

应用积分定理 连通（可以用连续的参数曲线连起任意的起点末端）的开集

连通区域上面全纯是常值函数。 证明：…

既开又闭证明它就是全集。

isolated singularity and

约定定义： 定义域

奇点： 孤立奇点被定义域包围

乱写一个例子，非全纯（不满足 CR 条件）

研究靠近孤立奇点的情况

从像球、环、柱面，可以想象 start with a surface, say just like the sphere or tortus or eqduides that can visualise in \(\mathbb{R}^3\)

上面都可以作（开？）圆盘

有映射 \(D\overset{f}{\rightarrow}\mathbb{C}\) ，现在希望定义 We want to "define" when f is holomorphic at \(x_0\). One way to do it is to topologically identify D with open subset, say the unit? set

\(\Delta=\left\{ z\in \mathbb{C}\mid \left| z \right| <1\right\}\)

by choosing a holo. \(\phi:D\rightarrow \Delta\) 并要求 \(f\circ\phi^{-1}\) 在 \(\phi(x_0)\) 全纯

without any arbuarty 希望像在平面上一样定义映射。 Riemann 曲面的设想是用在其它平面上使用复分析

D 相当于一个邻域（complex chart）

In the same way, we say that f is holo. in D if \(f\circ\phi^{-1}\) is holo. on \(\Delta\) . The pair \((D,\Delta)\) is called a complex cordinate chart. 同样，…，将对称作复坐标图册？

给了坐标，于是相当于 \(\Delta\rightarrow \mathbb{C}\) ，直观上就是球面上一个开区域？直接到复数域

More genrally, a complex chart is a pair \((V,)\) where V is an ioen subset of X, \(\phi\) is a holo. if 更一般

这就是图册。一种把曲面变成平面复函数的思路。而这是在 R 上面做，于是是时候给定义了。

任意的黎曼平面上的点都在一个图册里面，这样就可以做分析了（ this is a working definition）

Def: A surface covered by a collection of charts \(\left\{ V_{\alpha},\phi_{\alpha} |\alpha\in I\right\}(X=\bigcup V_{\alpha})\)

但可能一点在多个图册里面（想到了多值函数），这是需要考虑的

But we into pr follow? Suppose \(V_{\alpha_1}\) and V ? certain the point

严格写出：

得到两个有定义的结果。那么也可能有无穷多的，应当不依赖于取的情况，因为全纯应该是内在属性。

于是有以下要求，对于相交部分 \(U\cap U\) 相交部分在不同图册有全纯映射

\(g_{12}=(\phi_{\alpha|u_1\cap u_2})\circ(\phi_{\alpha_2|V_{\alpha_{21}}}):V_{21}\rightarrow V_{\alpha_{12}}\)

于是这使得 g 称为同构

cocrete defe

将转移函数（映射） \(g_{12}\)

给我们一个曲面到复平面的映射。 上述论述像是为了严格化（防止两个不同）

利用复数分析处理曲面问题

X 上具有以下结构被称为黎曼曲面： 有 X 上的图册 \(\left\{ (U_{\alpha},\phi_{\alpha}|\alpha\in I) \right\}\) 满足下面三个条件：

• \(U_{\alpha}\) 覆盖 X
• \(\phi_{\alpha}:U_{\alpha}\rightarrow \mathbb{C}\) 是同胚映射， 将 \(U_{\alpha}\) 送到 \(\mathbb{C}\) 上的开子集 \(V_{\alpha}\)
• 对于任意相交部分 \(U_{\alpha}\cap U_{\beta}\) , \((U_{\alpha},\phi_{\alpha}),(U_{\beta},\phi_{\beta})\) 相容（compatiable）

is unambiguous

相容此处表示：

• 转移映射 \(g\) 全纯 \(\Rightarrow g^{-1}_{\alpha\beta}=g_{\beta\alpha}\)

将相容的图册称为地图册 (complex) atlas. 之后的工作就是找地图册。

对于抽象的曲面，自然黎曼曲面也要在抽象上定义，目前先讨论2D

使用地图册 \(U=X,\phi:U\rightarrow \mathbb{C} \quad (x,y)\mapsto x+\mathrm{i}y\) 此处不需要检查相容性。黎曼曲面自动成立，它就是复平面（平面）

hence the complex plane is a Riemann surface structure on \(\mathbb{R}^2\) by the standard identification of \(\mathbb{R}^2\) with \(\mathbb{C}\)

\(\phi:(x,y)\mapsto \frac{z}{1+|z|}\)

此时 \(\phi\) 的值域是单位圆的子集，甚至可以写出逆 \(\phi^{-1}:\Delta\rightarrow U \quad (x,y)\mapsto \frac{z}{1-|z|}\)

于是 \(\phi\) 是 \(\mathbb{R}^2\rightarrow \Delta\) 的同胚

任何单连通非紧黎曼曲面与单位元或复平面同构

证明较为深奥。之后会给处正确结构的感觉。

没有洞、有界闭。

这个定理事实上说明不存在其它的映射做出复数平面上（？好的）黎曼曲面

将 \(\mathbb{S}^2\) 赋予黎曼曲面结构 Making into a RS

?球极投影

放在三维空间中，定义南北极为 S,N , 地图册是两个元素 \(\left\{ (U_1:=\mathbb{S}/N,\phi_1),(U_2:=\mathbb{S}^2/S,\phi_2) \right\}\) , \(\phi\) 都是 stero. 投影

检查相容性， \(\cap=S^2/\left\{ N,S \right\}\) 两者一样 \(\mathbb{C}/\{0\}\)

检查转移函数是 \(g=z\mapsto \frac{1}{z}\) 是全纯（多项式？）

此称为黎曼球。

那么能不能再给出一种，比如映到单位圆。

定理：任何单连通紧黎曼面和黎曼圆同构。

don't have any freedom

从实曲面出发：想在上面复分析，进一步的分析全纯函数等－于是使用图册覆盖曲面。 之后希望保证定义在上面的函数全纯性质是内在（不变的），这是就要求图卡（paiswise?）相容， 这就意味着相交图卡中的转移函数 \(g_{ab}=\phi_a\circ\phi_b^{-1}\) 全纯

相容的图卡就称为图册。 X 和其上的地图册组成黎曼曲面结构。

见到过 \(\mathbb{R}^2,\mathbb{S}^2\) 上的黎曼曲面 \(\{(R^2,\phi_{\alpha})|\phi:\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{C} \quad (x,y)\mapsto x+\mathrm{i}y\}\)

也可以给出 \(\{(U,\phi_U)|U\overset{\text{open}}{\subset} \mathbb{R}^2\}\) 它与上面的应当是同一个

就此找 等价性 。 定义两个图册等价：若每个图卡与另一个图册每个图卡相容。 >解决了部分和整体的问题，可以进一步让黎曼曲面有特殊唯一性。

这样，等价的图册并仍然是图册。利用 Zorn 引理（选择？）可证：

?上界… 对了有的称极大图册都可吧

总之，这样讨论时更方便，将之前两个集合当作同一个讨论。

再定义黎曼曲面：实曲面上最大图册。

\(\mathbb{R}^2\rightarrow \mathbb{C}\)

因此所有曲面到球的都是相互同构（球之间同构）

不过，这里的同构需要准确说明： 黎曼面 X,Y,映射 \(f:U\rightarrow V,U\overset{\text{open}}{\subset} X\, V\overset{\text{open}}{\subset} Y\)

反复套映射

说