多项式*-|

非映射（不存在定义域和），是一个形式，可以没有取值。 使用形式幂级数定义这个形式。

有了加法乘法，得到环。 未定元 indeterminate 和未知量 unknown 不同，后者是方程。没有任何含义。

定义:

形式表达式 $$a_nx_n+a_{n-1}x_{n-1}+\cdots+a_1x+a_0$$
称为不定元多项式或整式， x 称为不定元。

最重要参数：次数

参数：系数、不定元、次数

• 系数：（一般限定于）指定数域
• 不定元：数域之外，任意取（即不能取代数元）
• 次数：自然数

国内都把x叫做未定元，关于x的形式表达式定义成多项式蛮容易让人困惑的。 其实柯斯特利金卷一的多项式讲得就那蛮清楚的， 定义成仅含有限非零项的无穷序列，乘积定义成离散序列卷积，然后再给出形式表达式。

加法是有差异的，特殊的，但不做区分

考虑所有这样的集合：组成环 \(F(+,\cdot)\)。 对加法交换群，乘法是幺半群

定义： 域 \(F\) 上一元多项式组成的集合记作 \(F[x]\) 称作一元多项式环。

构造一个代入多项式的映射： 将数域的值代入 ？同时涉及代入运算

多项式函数 \[f:F\to F\] \[t\mapsto a_nt^n+\cdots+a_1t+a_0\]

这是一个函数，判定条件不同：

合同：两个多项式诱导相通的多项式函数

相同 \(\Rightarrow\) 合同

数域上成立（实数复数），一般的

例: \(\mathbb{F}_3[x]\) \(f(x)=x^3+2x^2+2,g(x)=2x^2+x+2\)

012 模3

有限域不成立，需要无穷多元素

合同与相同：相等强于合同，本质上是两个纬度一个是形式，一个是映射

明明多项式函数更有意思，可以分析， 没有【意义】的多项式更具体的定义有什么【形式】意义？

正是因为多项式没有意义，就意味着它的意义没有受到限制， 我们可以自由地赋予意义。

强大之处在于，它不仅可以代入系数域中的元素， 还可以代入更一般的元素，进行拓展的运算，进而发现普世的规律

重要性质：是否可约

隐形定义可交换

添加性质更好－扩域

多元多项式环 \(F[x,y]=F[x][y]\) 依次添加

有一个次数大于1 可约： \(f=f_1f_2=f_{11}f_{12}f_{2}\) 将多项式分解为一系列不可约多项式的乘积。

不可约多项式与其他多项式要么整除，要么互素