抽象之路笔记-

(应当就叫原本) 西方科学数学基础

不赞同降低小学难度，需要建立好良好的逻辑体系

几何为主的世界缘故： 我认为这是因为古希腊人对数的观念有关

《几何原本》同时是数论的起源：

13章 7-9章自然数整数的理论。

1. 欧几里德引理 若素数 p|ab 素性（定义素理想等等的根源）可以直接推得 算数基本定义 高斯最先证明 整数的唯一分解性质
2. 欧几里德第二定理：素数有无穷多 证明：假设素数哥舒有限，有 \(p_1,\dots, p_n\) 令 \(N=p_1\cdots p_n+1\) 则N 与\(p_1,\dots, p_n\) 互素，矛盾。反证成立。

历史上第一个关于无穷的结果

关注几何，于是对测量天文观测感兴趣，有 古典几何的三大难题

1. 化圆为方
2. 三等分角
3. 立方倍体

归化为代数问题，如果有 在范围内的解就可以做

1837 1,3 1882 -2

著作： Arithmetica 130个问题 他的年龄是根据数 6 12 7

当时著作往往是问题集，例如《海岛算经》、《孙子算经》

丢番图方程/不定方程进行广泛研究， 研究称为丢番图分析

例如 A=2a+1,求 \(x,y\in \mathbb{Q}\) \(x^2+y^2=A,\quad x^2,y^2>a\)

圆上作直线

• 研究三类二次方程

\begin{align*} ax^2+bx =c \\ ax^2 =bx +c \\ ax^2+c=bx \end{align*}

当时没有0，负数用的很少因此这样书写（才符合当时可以接受的形式）

（对应几何的思维方式）

可以想到如今我们感到负数自然便捷，而它本身恰恰也是一种符号的发明创造：

应用合适的概念有时候可促使研究更方便

中世纪 古希腊失掉 此时没有完全失传 重新连上

线性同余数方程

Mohammad ibnmussa al-khwarizmi (780-850)(成吉思汗屠城)

唐朝晚期 波斯人

首都巴格达智慧宫，研究数学、航海

文艺复兴从阿拉伯文成新翻译回来

著作： al-Jabar 代数

这个词的含义是一步一步的操作

12世纪中叶

• 引入印度数字（即阿拉伯数字）
• 拉丁写法： algorism,algoritmi=algrothm

2500年前的事情重做一遍

• 将代数从几何图形运算操作中解决出来，出现四则运算
• 同余数问题 有有理直角三角形（边长是有理数）边长 \(a,b,c\in \mathbb{Q}\) ，面积 \(n=\frac{1}{2}ab\) 找出所有整数 n. 等价于 对于怎样 n 有 \(\exists a\in Q\) 使得 \(a^2\pm n\) 也是有理平方数 \((a,b,c)\rightarrow (\left( \frac{c}{2} \right)^2-n, \left( \frac{c}{2} \right)^2, \left( \frac{c}{2} \right)^2+n)=(\left( \frac{a-b}{2} \right)^2, \left( \frac{c}{2} \right)^2,\left( \frac{a-b}{2} \right)^2)\) 等价于（现代数学研究） \(y^2=x^3-n^2x\) 椭圆曲线 有 \((x,y) \quad x,y\in \mathbb{Q}\quad y\neq 0\)

Bologue 大学教授 1515 发现三次方程公式，未发表 1525 告诉学生 Fior 菲奥尔, dello Nave(女婿+学生) 给了一本笔记本记录了求解思路过程 针对方程：

\begin{align*} \label{eq:1} \text{I} \quad&x^3+px=q\\ \text{II} \quad &x^3=px+q \quad p,q\neq 0 \end{align*}

fior 会 I

威尼斯共和国 Brescia 人

名字是一个蔑称，表示口吃。1512 与法国交战负伤所致。 自学成才，教学为生 一生潦倒，有钱就投入自己喜欢的军事研究，尤其大炮

Fior 自得为唯一传人，认为塔塔利亚虚名不实或者剽窃，发起挑战：

1535.2.13凌晨 塔塔利亚钻研出两种方程的解法。随后自己出题类型包含 I 和 II 。 而 Fior 只出他会的 I ，于是塔塔利亚一小时解出所有题，大获全胜。

米兰大公国 医生、星象学家。在社交中 长袖善舞。 治好苏格兰大主教 大逆不道上帝星座被赦免

赌博（出千的技术），作家

自己写信给塔塔利亚，承诺将对方介绍给米兰的西班牙总督，资助他继续军事研究。同时自己永不发表结果。

唯一在场是 Cardano 学生： Ferrari

5 Ferrari 1540 发现四次方程的解法 Ferriari 天才聪颖 Cardano 写书 Ars Magna (The Great Art) 1543 della Navr 邀请 1545 出版，记录了

文艺复兴最重要的数学著作 1546 塔塔利亚自己出版

14岁作为Cardano学徒 之后作Bologue 大学教授 早逝 Cardano 生命短暂不要期望他们取悦你

塔塔利亚 \(x=u+v\)

\begin{equation} \label{eq:2} \begin{split} u^3+v^3=-q \\ uv=-\frac{p}{3} \end{split} \end{equation}

四次方程：

\begin{equation} \label{eq:3} x^4+px^2+qx+r=0 \end{equation}

令 \(z=x^2+y\)

\begin{equation} \label{eq:4} \Delta = q^2-4()() \end{equation}

三次方程

副产物：虚数的诞生

\begin{equation} \label{eq:5} \Delta=\frac{q^2}{4}+\frac{p^3}{27} \end{equation}

\(\Delta<0\) 三次求根无意义 例： \(x^3-15x-4=0\) Ars Magna 引入复数 Ra Algrbra(使用拉丁文引入代数) 包含：丢番图、 介绍复数的运算法则

复分析：可视化

自学数学成才 19 都灵教授 柏林科学院院士 拜伦普希金

• 1770:4平方定理 分析为什么次数小于4有根 分析求根公式 研究置换（为之后）

拉格朗日预解式 定理 \(\left| H \right|\left| \left| G \right| \right\) 元素的阶整除群的阶

符号

\begin{equation} \label{eq:8} \left( \frac{a}{p} \right)= \begin{cases} 0 & p|a \\ 1 & a\equiv b^2 \mod p\\ -1& \text{else} \end{cases} \end{equation}

后来被高斯重新做了 猜测：

• 二次互反律

\begin{equation} \label{eq:10} \left( \frac{q}{p} \right)\left( \frac{p}{q} \right)=(-1)^{\frac{p-1}{2}\frac{q-1}{2}} \end{equation}

一直苦恼于自己证明存在瑕疵

• 素数定理：

\begin{equation} \label{eq:11} \Pi(x)=\left\{ p:p

(1777-1855) 数学王子

不世出的天才高斯登场了，可惜的是他基本只在25岁（1793）前研究数论，之后唯一关注的数论问题是上文素数定理 1801 《算数研究》 Disquisitiones Arithmeticae（基本是拉丁文写的最后学术专著）

• 第一本数论专著/教科书
• 先总结欧拉欧几里德中国算数，也就是初等数论到此总结完了
• 发明同余符号 \(a\equiv b \mod m \Leftrightarrow m|a-b\) 后一种是以前的写法
• 现代数论的开始（可以二次互反律）
• 证明二次互反律

二次型三次型－类数猜想～群（把之后概念拿过来就发现完美符合） 尺规正17边－费马素数 代数基本定理 复数引入数论

• 三平方和，从此可以立即推导出拉格朗日四次

184x

提升了数论的地位

费马无人问津，欧拉分析，因为高斯提升了数学家对数论的品味

挪威 法国

受到时代巨大影响，他们的人生处在风雨飘摇岁月。。 拿破仑垮台（1814第一次下台）挪威丹麦， 丹麦支持拿破仑，之后将挪威让给瑞典。

当年很穷（之后因为发现石油富裕）， 政治动荡。

穷苦家庭 15岁开始学数学，之后进展飞快。

良师指导 Holmboe ， 发现才能很高，看欧拉拉格朗日拉普拉斯等等。 1820父亲去世，帮助继续读高中 深入唯一的大学当时是克里斯蒂安娜（首都，现在是奥斯陆）。 挪威政府资助游学

Crelle 柏林：1825 爱好者办杂志 6篇Abel 纯粹与应用数学

之前印刷 现存最古老杂质 19 德文 美国 anlysa of math

老师评价极高

研究五次方程； 主流数学椭圆函数。

雅可比 贫病 1828柏林给教授 病逝 Abel 积分范畴群引理判别 2002 Abel prize 挪威 百万 李 Lie 解析数论 近世代数C罗定理 身前身后名

高斯没看过

等刘维尔发掘的悲情人物

法国 路易18 共和党和保皇党斗争 王后镇 Banorg-la-Reine 一家是共和党人 父亲是市长。

12岁前母亲教导 路易大帝中学，最好的中学另一个是亨利四世中学 当时未学数学 人大附中

1823

1827学数学 一入侯门深似海， 参加考试 几个大学校 brand 巴黎高师、巴黎综合理工 当年politic 未考上

1829完成主要数学成功，发表连分数（已经蕴涵思想）。

5月提交五次方程： 柯西审稿退回，因为Abel,希望修改后重新。

7月父亲自杀因为他人羞辱。

12月通过会考录取高师（高师就在路易里面的几间房子） 数学认为表达不清但聪明其余科目不认可 再次提交傅里叶作为秘书1830.5.16去世，稿件丢失 奖给了Abel jacobi 椭圆函数

29 30

1831.1.17 泊松看不懂，认为没有完全展开

1815路易18上台24去世弟弟查理1937 七月革命推翻波旁王朝 菲利普国王上台

1831期间从事政治活动，被关监狱，长达10月

1832.5.30决斗31去世 写了一晚上信，总结自己贡献，寄给好朋友Chevalier,可以评价自己的成果 同其弟Alfred Galois 寄 写信给数学家，没有回信

1843.9.4 Liouville 报告提到伽罗瓦完全正确 原封不动发表自己杂志（法语的纯粹与应用杂志（第二古老数学杂志））

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《抽象之路》| 代数与数论系列短课程III

群：一个数学结构——集合和运算（集合配上一个运算） \((G,\cdot)\)

以前算得是数——需要交换

之后研究项…使用置换，置换的过程需要考虑次序——交换就不满足了

采用更（弱）一般的结合（结合在映射中也更普遍，讨论像对称置换更方便）

符号表达： \(H\leq G\) (H 依然是个群) 对乘法和求逆封闭

研究 \(g\in G\) 包含 g 的最小子群是 \(\{ 1,g,\cdots,g^{k-1}\}\)

包含 g 也写作 a\(\left\langle g \right\rangle\) (g生成的群)。 此时， 原来 g 的阶就是群 \(\left\langle g \right\rangle\) 的阶

事实上，循环群只有两种（同构意义下），分别对应上面有限无限的整数和模剩余

子群的阶一定整除大群的阶 (是大群阶的因子) \(\Rightarrow\) 元素的阶整除 G 的阶

陪集（元素平移）说明

特殊情况

首先明确有陪集，陪集可以分左右

何时，对所有 g 左右陪集相等？相等就是正规子群。

\begin{gather*} gH=Hg\\ gN=Ng\\ \forall a g^{-1}ag\in N \end{gather*}

商群 利用正规子群划分大群

\begin{gather*} G/N =\left\{ gN:g\in G \right\}\\ \bar{g}_1\bar{g}_2=\overline{g_1g_2}\\ g_1Ng_1N=g_1g_2N \end{gather*}

\(F\subset E\) 中间 0,1 是同样的 ， E 是 F 的扩域。 可以有乘法… 定义 \([E:F]:= \text{dim}_{F}E\)

定理 \(F\subset E\subset K\Rightarrow [K:F]=[K:E][E:F]\)

证明思路：

有趣的例子：

化零多项式

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《抽象之路》| 代数与数论系列短课程IV

代数数、超越数

直尺：没有刻度； 圆规。

给定原点和另一点 相当于 (1,0) 可以得到哪些点

光从几何上分析是困难的，不过首先要明白可以实现什么样的操作：

可以操作

做出的点集合 F 是一个域， 且 \(\mathbb{Q}\subset F \subset \mathbb{R}\) 新的点如何来

有限步－每一步得到一个（新的）域

画圆：开根号

新的域

\begin{equation*} L'= \begin{cases} L\\ L(\sqrt{\Delta}) \end{cases} \end{equation*}

当且仅当必要条件

2

三大问题

高斯定理

费马素数