选择公理*

1. \(\forall\) set \(S,\mathscr{P}_{0}:=\left\{ X|X\subset S\wedge X\neq\emptyset \right\}\) \(\exists f: \mathscr{P}_{0}/\emptyset\rightarrow S\) s.t. \(\forall X\in \mathscr{P}_0\) \(f(X)\in X\)

   \(f:S\mapsto f(S)\)

   存在映射，使得每一个非空子集都要选一个子集元素

2. A poset \((X,\leq)\) in which every well-ordered subset has a lub \(\Rightarrow\) X has a max element

   偏序集中任子良序集有极大元素，偏序有最大

3. Every poset has a maximal chain

   偏序集中有没有更大的子全序（再加入一个元素不是全序）

   ?极大线性无关

4. A poset in which every chain has a upper bound has a max element

   偏序中的任子全序有上界，偏序有最大

5. Every set has a well-order

   良序原理

   总是变成像自然数的结构，有后继的观念

6. \(\forall surj. X\overset{f}{\rightarrow}Y\) \(\exists Y\overset{g}{\rightarrow}X\) \(f\circ g=id_Y\)

   可以造一个，就去看哪个元素映射到 y ，就去拿这个作为 y 的值，这个过程牵扯到选择

7. A set \(A\), \(\alpha\in A\) given sets \(S_{\alpha}\neq \emptyset\) \(\exists f:A{\rightarrow}\cup\limits_{\alpha\in A}S_{\alpha}\) s.t. \(\forall \alpha\in A\) \(f(\alpha)\in S_\alpha\)

   选择映射：从编号集到并集，满足每个编号都送到编号集里面

名称

那个是定理？

定理是上述说法等价。

在良序（非空有最小）中讨论后继， \(\min\left\{ x\in X|a

后继是在良序中讨论的。

在全序中，最多只有一个最大

在其中没有后继的最多一个元素，即最小的

不是总能用整数编上号（？找不到第一个） 有很多造良序的方法（从自然数出发），不知道一个集合上具体的良序法则？

?弹幕－字典排序法

? 自然数公理也是用这个的？

长路漫慢

• \(7\Rightarrow 1\) \(\mathscr{P}_0=\left\{ S|S\in \mathscr{P}_0 \right\}\),

  \((7)\Rightarrow \exists f:A\rightarrow \cup\limit_{\alpha\in A}S_{\alpha}\) s.t. \(f(\alpha)\in S_{\alpha}\)

  \(\exists f:\mathscr{P}_0\rightarrow S\) s.t. \(f(S)\in S\)

• \(1\Rightarrow2\) 需要用不动点

  Assume that X has no maxinmal element i.e. \(\forall a\in X\) \(X_a:=\left\{ x\inX|a

  \((1)\Rightarrow\) \(\exists f\) 箭头表示（？可交换）两者合成等同于 g

  s.t. \(\forall X\subset S\neq \emptyset\) \(f(S)\in S\)

  \(\forall a\in X\) \(g(a)=f(X_a)\in X_a\) and hence \(a

  与不动点（如果）矛盾

• \(2\Rightarrow3\) 偏序中所有良序子集有最小上界自己有最大 \(\Rightarrow\) 偏序中有极大链

  极大，我们就看所有的链

  Consider \(X=\left\{ C|C \text{ is a chain in P w.r.t.} \leq \right\}\)

  Claim: Any totally ordered set in X has a lub in X If \(T\subset X\) is a totally ordered set, \(\cup_{C\in T}C\) is \(\text{lub}_XT\) .

  \((2)\Rightarrow\) X has a max elememt i.e. a maximal chain in P.

• \(3\Rightarrow4\) 偏序一定有最大链 \(\Rightarrow\) 每个全序子集有上界这个偏序有最大

  \(3\Rightarrow\) \(\exists\) max chain C

  By assumption, C has an upper bound ,say a, in X.

  Then a is a max. element in X; otherwise

  \(\exists x\in X\) \(a

• 4 \(\Rightarrow\) 5 偏序中每个链有极大，所以偏序有最大 \(\Rightarrow\) 偏序

  Let Y be a set. Consider \(Y:=\left\{ A|A=(S_A,\leq_A \text{where} S_A \wedge \leq_A \text{well-ordered}) \right\}\) We define a relation \(\preceq\) on X.:

  \(A\preceq B \Leftrightarrow A=B\) or A is IS of B i.e. $∃ $

  片段

  Claim:

  1. X has a maximal element w.r.t.

<2024-04-27 Sat 21:37> 太难，暂时放一放

P23

证明有极大元素，极大是 A 不是 A

域 \(K\) 上线性空间 \(V\) ，线性无关组（子集），生成子空间（所有生成的组合） \(\text{span}_KS=\left\langle S \right\rangle\) 极大线性无关组；生成集： \(\left\langle S \right\rangle=V\)

1. 存在极大线性无关
2. 极大线性无关是一个生成集

理想，极大存在（Zorn）